Calcul énergétique de l'Urbanloop

Calcul énergétique d’un trajet en Urbanloop

Tuteur: Cédric Laurent

Étudiants: Kylan Rabe-Regis, Ahmed Askrane, Alexandre M.

 

Nous allons démontrer ici, par une étude énergétique détaillée, la pertinence de l'Urbanloop en terme écologique et économique.

 

 

Calcul énergie cinétique

 

Commençons par une constatation simple.

L’Urbanloop se doit de gagner en vitesse de déplacement au sein de l’agglomération, sans augmenter les pertes dues au transit. On en conclut donc que l’énergie cinétique que dissipera la capsule lors du freinage devra être inférieure ou égale à l’énergie cinétique d’une voiture circulant dans une ville.

Or, en moyenne le poids des véhicules modernes est de l’ordre de la tonne (soit 1000kg), et la vitesse maximale admissible dans une ville est de 50 km/h (soit 13,8 m/s).

On a donc, si l’on prend les vitesses maximales de ces deux véhicules, une contrainte de masse maximale à respecter :

"Ec_capsule=Ec_voiture"

"1/2 m_capsule v² =1/2 m_voiture V²"

"m_capsule =m_voiture (V/v)²"

Soit,

"résultat masse"

Ainsi la masse de la capsule chargée de son hôte doit être de l’ordre de 200kg. À vide, elle vaut donc  94 kg, soit à peu près une centaine de kilos.

Par la suite, on prendra:"m_capsule = 174kg"

 

 

 

Accélération

Les capsules débutent leur itinérance depuis une station que l’on prendra comme référence de position (x=0), à une vitesse nulle (v=0) et une accélération nulle aussi (γ=0).

L’environnement restreint associé à la ville oblige à acquérir une vitesse de 120 km/h avec  des distances réduites. L’important est de limiter l’accélération subie par le passager pour atteindre la vitesse de croisière. Un autre paramètre est à tenir en compte pour la sécurité des passagers, elle est nommée : jerk (secousse). Cette quantité correspond à une variation d’accélération au cours du temps, on peut l’assimiler à l’amplitude de la secousse que subit l’utilisateur pour gagner en accélération. Si sa valeur devient trop grande, le passager risque de se blesser, si elle dure trop longtemps le passager sera incommodé.

Une simulation MATLAB a permis de trouver un bon consensus entre tous ses paramètres dont le code source se trouve en annexe:

MATLAB1

 

En intégrant trois fois le jerk imposé à la capsule au cours du lancement, par la méthode des  trapèzes, on découvre que l’on peut acquérir une vitesse de 120km/h (33 ,3 m/s) en  50 mètres, en subissant une accélération de l’ordre de 1,27g (12,5 m.s-2) pendant environ 3 secondes. On peut assimiler cette expérience au démarrage rapide d’une voiture de sport. Ainsi les contraintes environnementales semblent être respectées.

 

 

Si maintenant on envisage que la capsule doit atteindre les 80km/h seulement, on trouve les courbes suivantes (avec le paramètre a =25) :

"MATLAB2"

 

On constate cette fois qu’on atteint les 80 km/h (22,2 m/s) en subissant une accélération de 0,88g (8,7m.s-2) pendant 3 secondes sur une distance de 35 mètres.

 

 

 

Aérodynamique de la capsule

 

Les tubes sont alimentés par un courant d’air circulant à 50 km/h (13,8 m/s). Cette circulation d’air est censée limiter les pertes aérodynamiques de la capsule au cours de son déplacement. Les forces de frottements aérodynamiques s’écrivent sous la forme:  "f_aero = 1/2 Cx rau S v²". Le coefficient de frottement aérodynamique Cx dépend du design de la capsule. Pour déterminer précisément ce coefficient, il faudrait, soit, faire des tests en soufflerie à échelle réelle, soit faire une simulation numérique. Pour le moment, on se contente d’approximer ce coefficient d’après des formes géométriques, testées en soufflerie, analogues aux parois de la capsule. Il est à noter aussi que l’on néglige l’effet de confinement de l’air par le tube qui complexifie l’étude outre mesure.

Au départ de la station, le vent que ressent la capsule, appelé vent relatif, va de l’arrière de la capsule à son nez. On peut légitimement considérer que l’arrière creusé de la capsule peut s’approximer par une demi-sphère creuse dont la concavité accompagne le vent relatif. Dans cette configuration, on trouve un coefficient de frottement de :

"Cx =1.42"

Ce coefficient est relativement élevé (effet parachute) car la poussée de la capsule par le vent doit être le plus grand possible.

Au fur et à mesure que la capsule gagne en vitesse, le vent relatif diminue jusqu’à s’annuler lorsque la capsule atteint la vitesse du vent dans le tube, soit 50km/h. A ce moment précis, la force de frottement aérodynamique est nulle.

La capsule accélérant encore, le vent relatif s’inverse de sens et va contribuer dès lors à empêcher l’accélération de la capsule. Le vent relatif va cette fois du nez vers l’arrière de la capsule et vaut en vitesse de croisière 120-50 = 70km/h (19,4 m/s). L’effet fuselé du nez de la capsule peut être assimilé maintenant à une demi-sphère pleine dont la concavité fait face au vent. Le coefficient de frottement aérodynamique vaut alors :

"Cx =0.4"

On suppose que la masse volumique de l’air ρ=1 kg.m-3 reste inchangé et que la surface apparente au vent S vaut d’après les dimensions de la capsule (largeur : 1,10m, hauteur : 1,30m, soit un diamètre apparent de 1,70m d’après le théorème de Pythagore)

"S = pi D²/4 = 2.27m²"

On en déduit donc  la force aérodynamique :

- au démarrage :"F_aero AN"

"F_aero = 307N"

- en vitesse de croisière (vent relatif de 70km/h, soit 19,4m/s) :

"F_aero AN2"

"F_aeero = -171N"

Sachant que la force aérodynamique est nulle à 50km/h (13,8m/s), on en tire une droite de régression linéaire, à partir de ces trois données, de la forme :

"F_aero = -14.4 v + 307"

Avec v : vitesse absolue (par rapport au sol) de la capsule

"courbe régression"

Mais une étude plus approfondie est en cours d'élaboration. Malgré tout, nous pouvons considérer ce modèle comme relativement pertinent.

 

 

 

Bilan énergétique sur sol plat

Un bilan des puissances délivrées au cours du mouvement donne :

"Ptotal = Pmoteur + Paero + Presistroue"

m gamma v = Pmoteur + Faero v -4Cresist  omega

"Pmoteur = m gamma v ..."

"Pmoteur AN"

On souhaite déterminer la puissance maximale qu’aura à fournir le moteur au cours du lancement. On a un maximum quand v = 33,3 m/s et γ = 12,5 m.s-2, soit :

"Pmoteurmax AN1"

"Pmoteurmax = 129ch"

La capsule doit donc être capable de monter à une puissance de 129ch.

En intégrant, par la méthode des trapèzes, la puissance délivrée par le moteur, on obtient la quantité d’énergie consommée au cours du lancement :

"MATLAB energie"

La simulation MATLAB montre une énergie consommée pour le démarrage, à l’instant t = 3s, de 0,14 MJ, soit 38,9 Wh.

Tandis qu’avec la simulation pour atteindre les 80km/h, on a :

"Pmoteurmax AN 3"

"Pmax = 61.5ch"

Les moteurs devront pousser jusqu’à 61,5ch pour un démarrage rapide vers les 80km/h.

 

Une fois la vitesse de croisière atteinte, le moteur ne travaille plus que pour maintenir la vitesse constante au cours du trajet. On a donc :

"Pcroisiere"

"Pcroisiere2"

"Pcroisiere 3"

"Pcroisiere = 30.7ch"

Ainsi, les moteurs de la capsule n’ont plus qu’à réduire leur puissance à hauteur de 31ch pour maintenir l’allure de 120km/h.

Et si la vitesse de croisière est 80 km/h :

"Pcroisiere AN 80km/h"

"Pcroisiere = 15,8ch"

Les moteurs en vitesse de croisière de 80km/h devront délivrer une puissance de 16ch pour maintenir les 80km/h.

Pour les phases de décélération et de rentrée en gare, le freinage inductif des moteurs peut être envisagé afin de récupérer une partie de l’énergie cinétique acquise au cours de la traversée dans d’éventuelles batteries. Les mêmes courbes mais inversées cette fois peuvent être observées pendant l’arrivée en gare de la capsule. Les moteurs ne travaillant plus pour le déplacement de la capsule, on peut considérer que la consommation de la capsule est nulle pendant cette phase.

 

 

 

Comparatif automobile/Urbanloop :

En supposant qu’en ville, 1 litre d’essence correspond à 9kWh et qu’une voiture consomme 6L/100km, ainsi pour une distance parcourue de 20 km en ville, on consomme : 6/5*9000 = 10,8 kWh.

Tandis que l’Urbanloop pour un trajet de 20 km à 120km/h consomme :

"Conso URBAN 20km"

Soit une économie d’énergie de 58,2% comparé à une automobile.

Si le trajet  s’effectue à 80km/h, on consomme :

"conso URBAN 20 km (2)"

On économise ici 78,4% d’énergie par rapport à une voiture.

 

D’après la tarification de l’électricité moyenne en France de 0,015€/kWh, on en déduit qu’un trajet de 20km coûtera 0,067€ et pour un trajet à 80km/h  le coût est de 0,043€.

 

 

Nous pouvons remarquer que l’Urbanloop est une formidable opportunité en terme énergétique, économique et permettra un déplacement fluide dans la ville.


 

ANNEXE :

%           MODELISATION D'UN LANCEMENT DE CAPSULE             %

%                                              URBANLOOP                                            %       

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

t0 = 0 ; % instant initial

tf = 4;  % instant final

n = 100; % nombre de points dans l'intervalle [tf_t0]

 

t = linspace(t0,tf,n);

a = 50;  % paramètre du jerk

rayon = 0.095 % rayon de la roue en mètres

m = 174; % masse de la capsule

 

jerk = a*exp(-(t-0.5).^2*a) - a*exp(-(t-3.5).^2*a);

gamma = zeros(1,n);

vit = zeros(1,n);

pos = zeros(1,n);

puissance = zeros(1,n);

F_aero = zeros(1,n);

 

gamma(1) = 0; % condition initiale

for i=2:n-1

   gamma(i) = gamma(i-1) + (jerk(i+1)+jerk(i))/2 * (tf-t0)/n;

end

gamma(n) = gamma(n-1);

 

vit(1) = 0; % condition initiale

for i=2:n-1

   vit(i) = vit(i-1) + (gamma(i+1)+gamma(i))/2 * (tf-t0)/n;

end

vit(n) = vit(n-1);

 

pos(1) = 0; % condition initiale

for i=2:n-1

   pos(i) = pos(i-1) + (vit(i+1)+vit(i))/2 * (tf-t0)/n;

end

pos(n) = pos(n-1);

 

F_aero = -14.4 * vit + 307;

puissance = m * vit .* gamma;  % puissance à délivrer par la capsule si on néglige les frottements

Pm = (m * gamma - F_aero +48/rayon) .* vit;  % puissance à délivrer par la capsule en présence de frottements.

 

Em = zeros(1,n);Em(1) = 0; % condition initiale

for i=2:n-1

   Em(i) = Em(i-1) + (Pm(i+1)+Pm(i))/2 * (tf-t0)/n;

end

Em(n) = Em(n-1);

 

plot(t,pos)

title('position')

figure(2)

plot(t,vit)

title('vitesse')

figure(3)

plot(t,gamma)

title('acceleration')

figure(4)

plot(t,jerk)

title('jerk')

figure(5)

plot(t,puissance)

title('Puissance au cours du lancement sans frottement')

figure(6)

plot(t,Pm)

title('Puissance du moteur avec frottement')

figure(7)

plot(t,Em)

title('Energie consommée avec frottement')